Fractions : pourquoi 1/4 semble plus grand que 1/3

« 4 est plus grand que 3, donc 1/4 est plus grand que 1/3. » Ce raisonnement revient dans presque toutes les classes. Il n’est pas absurde : l’élève applique ce qu’il sait des nombres entiers. Tout le travail consiste à lui montrer que, pour une fraction, ce réflexe ne fonctionne plus.

Plus de parts, des parts plus petites

Le point de départ est un partage concret. On coupe une galette en 3 parts, puis une galette identique en 4 parts. Quelle part préférez-vous ? Les élèves voient tout de suite qu’en partageant entre plus de personnes, chacun reçoit moins. Le dénominateur indique en combien de parts on coupe l’unité : plus il est grand, plus chaque part est petite.

Des bandes de papier de même longueur donnent la même expérience sur la table : une bande pliée en 2, une autre en 4, une autre en 8. On les aligne et on compare les morceaux.

Une fraction est un seul nombre

Écrite avec deux nombres, la fraction n’en désigne qu’un. Pour l’installer, faites placer des fractions sur une droite graduée de 0 à 1, puis au-delà. On voit alors que 3/3 tombe sur 1, que 2/3 est avant et que 4/3 est après : c’est en comparant le numérateur au dénominateur qu’on sait si une fraction dépasse 1.

Des fractions égales avant le dénominateur commun

Si l’on coupe chaque moitié d’une bande en deux, on obtient des quarts : 1/2 = 2/4. Coupée en trois, chaque moitié donne des sixièmes : 1/2 = 3/6. La règle « on multiplie le numérateur et le dénominateur par le même nombre » devient alors la description de ce que l’on a fait avec les ciseaux, et non une formule à retenir.

Pour comparer 2/3 et 3/4, on cherche un découpage commun aux deux bandes : les douzièmes. 2/3 = 8/12 et 3/4 = 9/12, donc 3/4 est le plus grand. Commencez par des cas où un dénominateur est un multiple de l’autre, comme 2/3 et 5/6, avant ceux où il faut chercher un multiple commun.

Fractions ÉclairFractions égales, simplification, dénominateur commun : le premier qui trouve arrête Glouton.Voir le jeu

Trois erreurs à surveiller

• Changer le dénominateur seul : 1/2 devient 1/4. Demandez de dessiner les deux fractions : elles ne couvrent pas la même longueur.
• Ajouter au lieu de multiplier : pour passer de 1/2 aux quarts, l’élève ajoute 2 en haut et en bas et écrit 3/4. Là encore, le dessin montre l’erreur.
• Simplifier à moitié : 18/24 devient 9/12 et l’élève s’arrête. Faites vérifier qu’aucun nombre ne divise encore à la fois le numérateur et le dénominateur.

Une progression en quatre temps

1. Partager des objets et des bandes de papier, et nommer les parts.
2. Fabriquer des fractions égales en recoupant les parts.
3. Comparer des fractions de même dénominateur, puis réduire au même dénominateur.
4. Ranger des fractions et les placer sur une droite graduée.

Trouver un dénominateur commun, c’est chercher un multiple commun aux deux dénominateurs : c’est le bon moment pour revoir les multiples.

L’atelier du zelligeMultiples, diviseurs et divisibilité avec des carreaux de zellige à ranger en rectangles.Voir le jeu